ようこそ、みなさん。
さて。
はじめに
「アメリカ大統領選挙」絡みの話題が続きます。
米司法省：不正投票捜査官トップが辞任
米司法省内の大統領選の管理担当が辞表を提出
トランプ氏、エスパー国防長官を解任
と、目まぐるしく情勢は変化し続けます。
トランプさんは「不正選挙が行われた！」と訴え続けているわけですが
それについては、BBCが「噂の一部を」否定した記事を出しています。
その上で、このような記事も出ています。
ウィリアム・バー司法長官、司法省に投票の不正を調査することを許可ウィリアム・バー司法長官は月曜日に発行されたメモの中で、司法省（DOJ）が2020年の大統領選挙における投票不正を調査することを承認した。
このメモは、バー司法長官から司法省の刑事部門、公民権部門、国家安全保障部門、連邦捜査局（FBI）のクリストファー・レイ長官に宛てられ、署名されました。
「投票が終了した今、選挙の結果が有権者の意思を正確に反映するような方法で行われたことをアメリカ国民が信頼できるようにすることが不可欠である」とメモには書かれている。
バーのメモは、39の下院共和党員が金曜日に書簡でバーに圧力をかけ、いくつかの重要な争点となる州での全国的な投票不正の疑惑を調べるために司法省のリソースを利用できるようにした後に来ています。トランプ陣営は、これらの州のいくつかでいくつかの訴訟を起こしている。
バー氏はメモの中で、州には選挙を実施し監督する第一の責任があるが、司法省には「アメリカ国民が自分たちの選挙プロセスと政府に完全な信頼を持つことができるような方法で連邦選挙が実施されるようにする義務がある」と述べた。
司法省は、疑われている選挙の不正行為の「ほとんどの疑惑」は、選挙の結果に影響を与えない規模のものであるため、調査を延期することができるが、「必ずしもそうとは限らない」と付け加えました。
彼は、投票が終了したので、この件で司法省が取ったあからさまな行動は非常に最小限に抑えられていると述べました。
彼はまた、特定のケースでの投票と投票集計の不正の実質的な疑惑を追求するために、すでに司法省に権限を与えていると述べた。
「このことを踏まえ、そして現在の選挙での投票が終了したことを踏まえ、私は、特定のケースで既に行っているように、特定の管轄区域での選挙の認証に先立って、投票と投票集計の不正の実質的な疑惑を追求する権限を与えます。」と同氏は述べた。
彼は、もし事実であれば、個々の州の連邦選挙の結果に影響を与える可能性のある不正行為の明確で明らかに信頼できる申し立てがある場合には、問い合わせや審査が行われる可能性があると述べている。
「米国の弁護士は、適切と判断した場合に照会や調査を行う本来の権限を維持しているが、利用可能な証拠がさらなる調査を必要とするかどうかを評価するために、選挙に関連する事項は予備的な照会として開始するのが賢明であろう」と述べた。
同氏はまた、司法省が「細心の注意と判断」を行使し、「憶測、投機的、空想的、または遠回しな主張」に基づく調査を開始しないよう促しました。
同氏は、調査の権限を与えたことは、司法省が投票の不正が選挙結果に影響を与えていると結論付けたことを示すものとして受け取られるべきではなく、投票プロセスの信頼性を確保するためであると指摘した。
「私はこの権限と指針を提供し、投票不正の疑惑にタイムリーかつ適切に対処する必要性を強調することで、希望する候補者や政党に関係なく、アメリカ国民全員が選挙の結果に完全な信頼を持つことができるようにします。
「アメリカ国民と彼らが自由に選んだ指導者には、それ以下の価値はありません。」
（翻訳ここまで）
ちなみに、この記事を掲載している「breitbart.com」ですが
ブライトバート・ニュース・ネットワーク（英語: Breitbart News Network）は、アメリカ合衆国のオンラインニュースサイト。ラジオ放送(Breitbart News Daily)も行っている。単にブライトバート（Breitbart.com など）とも呼ばれる。政治的傾向は極右である。本社はカリフォルニア州ロサンゼルスにある。ニューヨーク・タイムズはブライトバート・ニュースを、フェイク・ニュースであり、ミソジスト、外国人嫌悪、人種差別的なサイトであると批判している。また真偽のあやしいデマ、陰謀論、および意図的にミスリーディングな記事を発信、白人至上主義、反移民などの話題を多数掲載、オルタナ右翼の代表的なメディアとなり、トランプ大統領の当選に大きな役割を果たしたといわれている。
アレクサ・インターネットによれば、2014年の時点でブライトバートは世界のニュースカテゴリーの中では上位50位に入るほどの規模となっている。
このようなメディアになります。
ベンフォードの法則
数日前から、一部の人々の間で「バイデンさん陣営が組織的な不正投票を行ったと考えられる証拠の一つ」として話題なのが「ベンフォードの法則」です。
ベンフォードの法則（ベンフォードのほうそく、Benford's law）とは、自然界に出てくる多くの（全てのではない）数値の最初の桁の分布が、一様ではなく、ある特定の分布になっている、という法則である。この法則によれば、最初の桁が1である確率はほぼ3分の1にも達し、大きな数値ほど最初の桁に現れる確率は小さくなり、9になると最初の桁に現れる確率は20分の1よりも小さくなる。数理的には、数値が対数的に分布しているときは常に最初の桁の数値がこのような分布で出現する。以下に示したような理由により、自然界での測定結果はしばしば対数的に分布する。別の言い方でいえば、対数的な測定結果があらゆる場所に存在する。
今日はあまり時間がない（と言うか、書きたいことがありすぎ）ので、この法則について詳しく知りたい方は下記リンク先をご参照くださいますようお願いいたします。
「直観的にはそんなことないでしょ？」と思われるけども、数学的には「こっちのほうが正しい」という類の法則でもあります。
※ 「直感的には正しく思えること」に対して「ちょっと待てよ？」と立ち止まって熟考できる能力はあるのか？ということを計るためのテストに関して、ご興味がございましたら下記リンク先の記事も是非お読みください。
そんなわけで「ジョー・バイデン候補の獲得した票は『ベンフォードの法則』に反しているのではないか？」という疑問を投げかけている海外記事を、簡単に翻訳してご紹介したいと思います。
まずはお馴染み、保守系の「American Thinker」より。
2020年11月10日
バイデンの得票数とベンフォードの法則
By Henry Percy
ベンフォードの法則：「データセットの集合体の先頭の桁がおそらく小さくなることを示す」
これは、2014年と2019年のインドの総選挙のように、操作の兆候を識別するために、頻繁に選挙結果に適用されてきました。Gateway Punditには、正規のベンフォード分布とバイデンの得票数を示す記事が掲載されています。正規のベンフォード分布がどのようなものかというと、次のようになります。
Image: Gknor, Wikamedia
この記事には、独自のベンフォード・チャートを作成するための詳細な手順が書かれています。私は、2020年11月5日（木）にミルウォーキー・シティ・ワイヤーが発表したミルウォーキーの各区のバイデンとトランプのための票の合計を使ってチャートを作成しました。明らかに、わずか十数個のデータポイントを持つデータセットからベンフォード・チャートを作ることは、決定的ではないだろう。ミルウォーキーには325の投票区があるので、決して小さなデータセットではありません。
トランプ氏のミルウォーキー票のグラフです。
そして、バイデン氏のミルウォーキー票のグラフです。
繰り返しになりますが、両方のグラフを上記の正規ベンフォード分布と比較してください。言い換えれば、バイデンの合計は介入を示唆しています。
弁護士がよく言うように、この証拠は決定的なものなのだろうか？いや、しかし、ゲートウェイ・パンディットは、記事をリツイートしたり、Facebookに投稿したりした人は、アカウントがロックされていたことを指摘している。単に内容が検証されていないという警告メッセージで特定されただけでなく、アカウントがロックされた。ジャック・ドーシー（ツイッター）とマーク・ザッカーバーグ（フェイスブック）は、統計について考えることすら望んでいない。
哀れな愚か者たちどもは次は何を考えてるんだ？ジョージ・W・ブッシュは、土曜日にバイデンの勝利を祝って、ボードに乗った。彼は法的挑戦を行い、勝者と宣言される前に37日間の再集計を要求しました。
（翻訳ここまで）
次に「Skeptics Stack Exchangeは、科学的懐疑論のための質疑応答サイト」と自ら標榜している質疑応答サイトより。
2020年の選挙でのジョー・バイデンの投票数はベンフォードの法則に違反するのか？
ベンフォードの法則とは、実世界の数値データセットにおける桁数の分布が特定のパターンに従う傾向があるという統計的な法則です。候補者の投票数の桁数の頻度を予想されるパターンと比較することで、選挙が合法か偽物かを検証するためによく使われます。例えば、2009年のイランの選挙では、不正選挙の立証に使用されました。
私は最近、2020年の選挙におけるジョー・バイデン次期大統領の得票数がベンフォードの法則に違反していると主張するいくつかの右翼の情報源に出くわしました。その例としては、ウェブサイト「The Red Elephants」や、このr/donaldtrumpスレッドなどが挙げられる。「レッド・エレファンツ」の記事は他にもいくつかの不正行為の主張をしていますが、この質問は桁数分析に限定したいと思います。通常、私はこのようなことを根拠のない党派的な陰謀論としてすぐに却下するでしょうが、この主張は公の記録や統計分析を用いて検証可能なものであるべきです。引用します。
一部のアナリストによると、バイデンの投票集計はベンフォードの法則に違反しています。他の候補者の集計は、全国的にベンフォードの法則に従っていますが、バイデンが接戦になった時は例外です。バイデンは、国務省と法医学会計士によって使用されている選挙詐欺を捕まえるためのテストにかなり明確に失敗しています。
アナリストたちは、トランプ対バイデンのMebane 2桁テストを使ってAlleghenyでデータを走らせた。その差は有意であった。それだけではうまくいかない。バイデンのは怪しい、多くの有意な偏差がある。トランプのは2つの偏差しかありませんでしたが、どちらも5%レベルでは有意ではありません。X軸は問題の数字で、Y軸はその数字でのオブザベーションの%です。
記事の中からいくつかの関連画像をご紹介します。
ペンシルバニア州アレガニー郡の頻度
ここには「コメント欄」もありまして、そちらの内容もご紹介しておきます。
私は2番目のチャートだけに対処します。『統計学で嘘をつく方法』の中からまっすぐに出てきたものだからです。
コメンターが指摘したように、垂直方向のスケールは異なります。狭い縦のスケールは、変化を大きく見せます。一方、広い垂直方向のスケールは変化を滑らかにします。バイデンのグラフはトランプのグラフよりも狭いスケールを使用しています。
同じ尺度で1つのグラフにまとめてみると、彼らはもうそんなに違って見えません。
グラフから数字を目測していましたが、もっと正確な数字を出しても結果は変わりません。その数字が正しいかどうかもわからない。ある程度の確信を持って言えるのは、このグラフは嘘を売るために意図的に作られたものだということです。0から最大にするか、最小から最大にするか、どちらか一方の尺度を選択するのは当然のことです。誰かがそれぞれのグラフの縦軸を使い分けることを選択しなければならなかった。
であるとか。
免責事項：私は実際のデータを見ていません。
一般的に、ベンフォードの法則を選挙区レベルのデータに適用する際の最大の問題は、管区の規模が小さく、似たようなものであるということです。例えば、すべての選挙区に約800人の有権者がいて、1人の候補者が一貫して40-50%の票を取っている場合、最も多い最初の数字は3と4であることが予想されます。
ベンフォードの法則は、値が複数の桁にまたがっている場合に、よりよく機能しますが、ここではそうではありません。
具体的な例としては、分析のソースにあるいくつかのGithubの問題を見る価値があります。
ミルウォーキーでのベンフォードの法則の消滅は、有権者の選好だけの機能である。一人の候補者の平均的な得票確率が６０％から８０％の間であれば、ミルウォーキーの区の大きさはベンフォードの法則に対応するには小さすぎるということになる。
より一般的には、いくつかの論文が選挙データに適用されるベンフォードの法則の有用性を疑問視している。
Does the Application of Benford's Law Reliably Identify Fraud on Election Day?
残念ながら、私の分析は、ベンフォードの法則が信頼性の低いツールであることを示しています。そして、1つは推定のより洗練された方法を適用すると、結果はますます一貫性のないものになります。さらに悪いことに、観察データと比較すると、ベンフォードの法則の適用は、何も発生していないところで頻繁に不正を予測します。
Benford's Law and the Detection of Election Fraud | Political Analysis | Cambridge Core
この法律では、不正選挙が公正であると判断されることもあれば、公正な選挙が不正であると判断されることもある、ということだけではありません。いずれにせよ、その「成功率」は、本質的にはコインのトスと同じであり、それによって、法医学的なツールとしては問題があり、最悪の場合は完全に誤解を招くことになる。
であるとか。
11月7日後半の時点で、https://www.chicagoelections.gov/en/election-results-specifics.asp にある実際のシカゴのデータを管区別に見ると、シカゴのチャートは信憑性があるように見えるが、ベンフォードの法則が適用されるべきだという仮定は、少なくともバイデン/ハリスやマイナーな候補者には適用されない。
2069の選挙区（そのほとんどがほぼ同じ規模の選挙区）のうち、バイデン/ハリスは12の選挙区で100票未満、4の選挙区で999票以上を獲得した。残りのすべての（99％以上）は、ベンフォードの法則を満たす自然データが数桁に及ぶという要件に違反して、投票に3桁の数字を使用していました。バイデン/ハリスの半数以上の選挙区（1100）では、300 票から 499 票までの票数が 3 桁と 4 桁が最も多くなっている（このグラフはこの点を反映しており、実際の投票数別の投票頻度を示すのに近いので、300～399 票が最も多い）。
トランプ氏とペンス氏では、1～9票が99票、10～99票が1339票、100票以上が633票と、より広範囲に票が分散している。このような桁違いの分散により、ベンフォードの法則に近づく可能性が高くなった。
マイナーな候補者については、彼らは非常に少数の区で二桁に達しただけで（そして何百もの区で0票を得た - チャートには表示されていません）、チャートは0と10+の打ち切りで実際の票の分布を示すのに近いです; 再び、あなたはベンフォードの法則が適用されることを期待しないでしょう。
シカゴは、イリノイ州の差が12％ポイントだった2020年に不正行為の疑いで調査するには奇妙な選択でした(0.2％ポイントだった1960年の方が面白かったかもしれません)。私は、データが公開されており、同様の管区のサイズによって引き起こされる歪みが、この非ベンフォード法の結果につながったので、それが単に選択されたと疑っています。あなたは、同様の理由で他の場所でこれを見るでしょう：2019年に非常に少数の英国の国会議員は、彼らの選挙区が大体似たようなサイズであり、勝者は通常、10,000から49,999票の範囲で得たので、5-9から始まる票の数を獲得し、再び大きさの数桁の要件をスパンすることに失敗します。
であるとか。
ウィキペディアによると
ベンフォードの法則は、ニューコム・ベンフォードの法則、異常数の法則、または1桁の法則とも呼ばれ、現実の多くの数値データの集合における先頭桁の頻度分布に関する観測です。この法則は、多くの自然発生的な数の集合体では、先頭の桁が小さい可能性が高いことを示しています。
...
数値が複数の桁にまたがって分布している場合に最も正確になる傾向があり、特に数値を生成する過程が力の法則（自然界では一般的なもの）で記述されている場合には、最も正確な数値が得られる傾向があります。ベンフォードの法則は何か普遍的な現象ではありませんし、それが保持されないことは不正行為の「証拠」ではありません。例えば、2016年にドナルド・トランプ氏が獲得した投票率でこのゲームをすることができます。3の1桁目が11、4の1桁目が19、5の1桁目が16、5の1桁目が9、7の1桁目が1（はい、これを足すと56になります；州によっては州全体の合計に基づいて選挙人を割り当てない州もありますし、DCもあります）。明らかに、トランプ氏の投票率は詐欺だったのだ。redditのスレッドで、u/Three-Twelveは次のように述べている。
上の写真で引用したミルウォーキーのデータやデトロイトの場合、投票エリアあたりの投票数は数桁にも及びませんので、ベンフォードの法則は適用されません。
選挙区の大きさは、バイデンの支持率よりも、バイデンの投票数のより強い予測因子である可能性が高い。これらの人々が、これが1区あたりの有権者数がランダムではないという証拠だと主張したいのであれば、それは証拠によってより支持されるだろうが、はるかに空虚である（いくつかの区のサイズが他のものよりも好まれているというのは、地球を揺るがすようなニュースではない）。
などなど。
このような「（バイデン氏の不正の証拠として『ベンフォードの法則』が利用されようとしていることに対する）健全な科学的疑問の数々」が寄せられている様子です。
最後に
いかがでしたでしょうか？
大手マスコミの「左翼的な偏向報道姿勢」というのは数年来問題視されてきていますが、かと言って「右翼的なメディア」に「偏向報道がまったくない」わけではありません。
※ そもそも「右」に「偏っている」わけで。
一番いいのは、横断歩道を渡るときと同じように「右見て、左見て、もう一度右」ではありませんが「左右どちらの意見にも目を通し、最終的には『中立（だと思われる）』の立場から発せられる『純粋に科学的視点からの分析』に目を通すこと」だと、個人的には思います。
そのようなわけで、やはり「ちゃんと数学を学び直したい（深く学びたい）な」と思うのでした。
「数字自体」は嘘をつきませんが、「数字を使う人」は嘘をつきます。
ちょっと、とりとめのない「メモみたいな記事」になってしまいました。
あと、「前回のアメリカ大統領選挙で『トランプさんの勝利を予想し的中させた』」ことで有名な木村太郎氏（まだまだ「トランプ勝利」の希望は捨ててない？）から、ちょっと面白い話も飛び出しましたね。
133年前の法律がトランプ大統領を救う？！逆転を可能にする奇策が浮上
ちなみに。
私は「トランプ派」でも「バイデン派」でもないので悪しからず。
※ そのあたりのことが書かれている記事もそのうち。
で、ふと思ったんですが。
日本の芸能界で何かあると「裏で起こってる重大なことを隠すためだ！」と騒ぎ出す人たちが一定数いると思うのですが、こんなに「大騒ぎしている事態（アメリカ大統領選挙の行方）」の、その裏で「もっととんでもなく人類にとって重要なことが水面下で進行している」とならないのは、なんででしょうか？
※ 「これ（アメリカ大統領選挙）以上に大事なことはない」と思ってるのでしょうか？
私は「いつも不幸は、突然ドアをノックする」ものだと思っていますが。
「アメリカの大統領さえも駒とする何かしら」がいたとしら？
「徹底的な大ピンチから奇跡の復活逆転劇」という、人類の誰しもが「うっとりしてしまいそうなお話」が用意されているのか？いないのか？
とにもかくにも、 この混乱はまだまだ続きそうです。
「この世は舞台、人は皆役者だ」
All the world's a stage,
And all the men and women merely players.
- ウィリアム・シェイクスピア：『お気に召すまま』第2幕第7場より
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